quarta-feira, 25 de novembro de 2009

QUESTÕES DE VESTIBULAR - FATORIAL


1.(UNIFOR) - A soma de todos os números primos que são divisores de 30! é :
a) 140
b) 139
c) 132
d) 130
e) 129

Solução:
Seja S = 30!, então
S = 30.29.28...3.2.1
Sabemos que como S é obtido pelo produto dos números naturais de 1 a 30,
logo todos os números primos que aparecem nesse intervalo são divisores de S = 30!.
portanto a soma  é igual a
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129
opção "e"

2.   se (n + 1)! = 10 n!, então ( n - 1 )² vale :
a) 100
b) 81
c) 64
d) 36
e) 25

solução :

(n+1)! = 10 n!
(n+1) . n! = 10 n! , dividimos tudo por n! , então
n + 1 = 10
n = 10 - 1
n = 9
portanto, (n - 1)² = (9 - 1)²
               (n - 1)² = 8²
               (n - 1)² = 64
opção "c"


sábado, 21 de novembro de 2009

Trigonometria : Lei dos senos

Apresentação em slides com a lei dos senos e algumas questões de vestibular resolvidas para baixar grátis:
Para baixar este arquivo : clique aqui


segunda-feira, 16 de novembro de 2009

PROVAS COMENTADAS DO ENEM 2009 - A PROVA VAZADA

SENHORES,
POR NÃO TER TEMPO PARA POSTAR TODA A PROVA DO ENEM 2009 COMENTADA, ESTOU DISPONIBILIZANDO AQUI O COMENTÁRIO DAS PROVAS DO ENEM 2009. PARA BAIXAR AS PROVAS CLIQUE NOS LINKS ABAIXO.

Para baixar os comentários da prova do 1º dia - clique aqui

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domingo, 15 de novembro de 2009

GEOMETRIA ANALÍTICA


(UECE 2000.1) A equação x² - y ² - 2x + 4y - 3 = 0 representa um(a):
a) Circunferência
b) Parábola
c) Elipse
d) Par de retas concorrentes.
Soluçao:
Primeiro vamos reordenar a equação,
x² - 2x - y² + 4y = 3
Agora vamos Completar os quadrados perfeitos,
x² - 2x + 1 - (y² - 4y  +4) = 3+1-4
Logo temos,
(x-1)² - (y-2)² = 0
(x-1)² = (y-2)²
Portanto, x-1 = y-2 (I) ou  x-1 = -y+2 (II)
Desenvlovendo (I),
x-1 = y - 2
x- 1 + 2 = y
y = x + 1

Desenvolvendo (II),
x- 1 = -y + 2
y = -x + 2 + 1
y = -x + 3

temos então duas retas, resolvendo o sistema  (I) e (II), temos
y = -x + 3
y = -y+ 1 +3
2y = 4
y = 2
logo, x = 1
Portanto a intersecção das duas retas é um único ponto, logo a resposta correta é o item D.

terça-feira, 10 de novembro de 2009

QUESTÃO DE PORCENTAGEM - NÍVEL FÁCIL

Quanto é (10%) ² ?

a) 100%
b) 50%
c) 20%
d) 1%

solução:
Sabemos que 10% é igual a 10/100
portanto (10%)² = (10/100)²
que é igual a 100/10000
e simplificando a fração obtemos o valor 1/100 = 1%
opção D

domingo, 8 de novembro de 2009

Questão de Equação do 2º grau




Se p e q são raízes não-nulas de x² + 5px – 8q = 0, quanto vale  p + q.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50

solução:
Sabemos que a soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau é:
p + q = -b/a
p.q = c/a

logo,
p + q = -5p
p.q = -8q , e como q é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados dessa igualdade por q, e então teremos,
p = -8
logo
p + q = -5p
p  + q = -5(-8)
p + q = 40
item D

quinta-feira, 5 de novembro de 2009

MAIS UM PROBLEMA DE CONTAGEM

Ao adicionarmos todos os números inteiros positivos formados a partir das  permutações simples dos algarismos 1,2,3,4 e 5, obteremos um número M. Determine o algarismo das dezenas de M.

Solução:
Primeiro vamos calcular a quantidade de números. As permutações simples dos algarismos 1,2,3,4 e 5 são ao todo 5! = 120.
Logo não é interessante, fazer a listagem dos números e sair somando.
Observe então que dos 120 números, 24 tem seu ultimo algarismo sendo 5, 24 tem seu ultimo algarismo sendo 4 e assim sucessivamente. Assim o algarismo das unidades da soma será retira de   S = 24x(1+2+3+4+5) = 360, logo o algarismo das unidades é 0 e o algarismo das dezenas será obtido a partir da soma P = 36 + 24x(1+2+3+4+5) = 396.

Logo o algarismo das dezenas de M é 6.

quarta-feira, 4 de novembro de 2009

OBMEP - 2009


ATENÇÃO :

Estou disponibilizando as provas da OBMEP 2009 com as suas soluções:

Para Baixar as Provas - Clique Aqui

terça-feira, 3 de novembro de 2009

PROBLEMA DO DIA - RACIOCÍNIO LÓGICO

Um professor propôs dividir sua turma em 7 grupos de alunos; os elementos de um dos grupos ficariam no centro de uma circunferência, e os demais grupos, posicionados em 6 locais bem determinados sobre a circunferência, teriam a incumbência de questionar os elementos do grupo do centro a respeito de um assunto pré agendado. A figura abaixo ilustra a posição dos 7 grupos.

Nesse caso, a quantidade de formas possíveis e distintas de se organizar os grupos dos questionadores e questionados será igual a:
a) 5040
b) 840
c) 720
d) 120
fonte: Prova do concurso para professor do estado do ceará 2009 - CESPE/UNB



Solução: note que para dispormos os grupos no centro temos 7 opções.
Observe ainda que para dispor os 6 grupos no círculo teremos 6! opções.
Porém como estamos falando de uma permutação circular então devemos dividir o resultado por 6 (Devido às rotações).
Portanto o total de resultados será igual a
R = 7x6!/6
R = 5040/6
R = 840 modos

PROBLEMA DO DIA - RACIOCÍNIO LÓGICO

Um teste para os aluno de uma determinada sala de uma escola é composto por 8 itens, que deverão ser julgados, individualmente como CERTOS ou ERRADOS. Nesse caso, excluindo-se as possibilidades de todos os itens estarem CERTOS ou de todos os itens estarem  ERRADOS, a quantidade de possíveis gabaritos para esse teste é igual a:

a) 254
b) 128
c) 64
d) 26
e) 256
fonte: Prova do concurso para professor do estado do ceará 2009 - CESPE/UNB


Solução:
Note que para cada questão temos duas possibilidades. Como ao todo são 8 questões, então o total de resultados é igual a 2 elevado a 8 que é igual a 256, desses devemos retirar dois casos o primeiro em que todos os itens estão certos e o segundo em que todos os itens estão errados.
Portanto a resposta para o nosso problema é igual a 256 - 2 = 254
opção A

segunda-feira, 2 de novembro de 2009

PROBLEMA DO DIA - LÓGICA

Cada um dos 5 alunos de um grupo terá 10 minutos para expor acerca do clima de um continente. O primeiro falará sobre o clima no continente americano, o segundo, no africano, o terceiro, no asiático, o quarto falará sobre clima no continente europeu, e o ultimo, na oceania. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas que o grupo poderá se organizar para fazer a exposição será igual a :
a) 5
b) 24
c) 120
d) 3.125
e) 1200
fonte: Prova do concurso para professor do estado do ceará 2009 - CESPE/UNB
solução:
note, primeiramente, que não precisaremos usar o tempo 10 minutos na resolução desta questão.
Para organizar a apresentação temos:
5 alunos para a primeira apresentação
4 alunos para a segunda apresentação
3 alunos para a terceira apresentação
2 alunos para a quarta apresentação
1 aluno para a quinta apresentação
Logo, o total de casos possíveis é igual 5!=5x4x3x2x1 =120
opção C