sexta-feira, 12 de fevereiro de 2010

Dois irmãos

A diferença de idade entre dois irmãos é de 3 anos. Um ano atrás, a idade de seu pai era o dobro da soma das idades dos irmãos e, dentro de 20 anos, a idade do seu pai será a soma das idades desses dois filhos. Qual a idade de cada um?
solução:


sejam x e y as idades dos irmãos e Z a idade do pai. temos:

x - y = 3
z - 1 = 2[(x-1) +(y-1)]
z + 20 = (x + 20) + (y + 20)

desenvolvendo as equações acima, obtemos as equações equivalentes,

x - y = 3
z - 1 = 2x+2y-4
z + 20 = x + y +40

Uma maneira simples de obter z é multiplicar a 3ª equação por 2 e do resultado subtrair a 2ª:
2z + 40 - (z - 1) = 80 - (-4), o que implica z = 43.

vamos calcular agora a idade dos filhos usando as duas primeiras equações.

x - y = 3  logo, x = y + 3

43 - 1 = 2x + 2y - 4 , o que implica
x = 23 - y,
obtemos 2x = 26, donde x = 13 e y = 10.

Enchendo uma piscina

Uma piscina vazia foi de água por duas torneiras A e B, ambas com vazão constante. Durante 4 horas as duas torneiras ficaram abertas e encheram 50% da piscina. Em seguida, a torneira B foi fechada e durante 2 horas a torneira A encheu 15% do volume da piscina. Após este período a torneira A foi fechada e a torneira B aberta. Durante quanto tempo esta torneira teve que ficar aberta para que ela sozinha terminasse de encher a piscina?
Solução:

Como as torneira A e B despejam água na piscina com vazão constante, o volume da água despejado na piscina por cada torneira é proporcional ao tempo que ela fica aberta. Assim, se durante 2 horas a torneira A enche 15% do volume da piscina, então em 4 horas ela encherá 30% do volume da piscina. Mas, quando as torneiras A e B ficam simultaneamente abertas durante 4 horas, elas conseguem encher 50% do volume da piscina. Daí temos que a torneira B enche  50% - 30% = 20% do volume em 4 horas. Isso significa que a torneira B enche 5% do volume da piscina em 1 hora. como a piscina já estava com 65% do volume, então restava 35% do volume para echer a piscina, logo a torneira B irá demorar 7 horas para completar o volume da piscina.