Problema De PA

As idades de três irmãs formam uma PA, sendo que a Mais nova tem 70 anos e a soma das idades é igual a 222 anos. Calcule a idade da irmã mais velha:

Solução:

Seja a PA ( 70, 70 + r, 70 + 2r) as idades das tres irmãs.

Então,

70 + 70 + r + 70 + 2r = 222

210 + 3r = 222

3r = 222 - 210

3r = 12

r = 12/3

r = 4

Logo a idade da irmã mais velha é igual a 70 + 2r = 70 + 2x4 = 78 anos.

Até a próxima.

Progressão Aritmética

1. Três números estão em PA, de modo que a sua soma é igual a 18 e seu produto é igual a 66. Determine os termos sabendo que a PA é crescente.

Solução:

Primeiro construímos a PA genérica PA (x - r , x , x + r)

É aconselhável que chamemos o termo do meio de x. assim,

A soma é 18, logo

x - r + x + x + r = 18

3x = 18

x = 18/3

x = 6

o Produto é 66, logo

(x-r) x (x+r) = 66

(6-r) . 6 (6+r) = 66     ( dividindo os dois lados da igualdade por 6)

(6-r) (6+r) = 11

6² - r² = 11

36 - r² = 11

-r² = 11 - 36

-r² = -25       x(-1)

r² = 25

r = 5 (pois a PA é crescente)

Logo a PA (1, 6 , 11)

Até mais.

  

Desafio - obmep

o produto de dois números é igual a 620.Se aumentarmos o menor desses em 05 unidades, então o novo produto é igual a 775. Calcule os dois números:

Solução: sejam x e y esses números.

então:

x . y = 620

x = 620 / y

por outro lado, (supondo que x < y)

(x + 5).y = 755

x + 5 = 755 / y

x = (755 / y) - 5

igualando as duas equações:

620 / y = 755 / y - 5 

620 = 755 - 5y

5y = 755 - 620

5y = 155

y = 155 / 5

y = 31

então, 

x = 620 / 31

x = 20

até a próxima!

Soma dos Cubos

Se x + y = 1 e x² + y² = 2, calcule x³ + y³ :

Solução :

Temos que x² + y² = 1

(x + y)² = x² + y² + 2xy

(x + y)² - x² + y² = 2xy

2xy = 1² - 2

2xy = -1

xy = -1/2

Note que:

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

(x+ y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)

(x+ y)³ - 3xy (x + y) = x³ + y³

x³ + y³ = 1³ - 3.(-1/2) . 1

x³ + y³ = 5/2

Até a próxima!

Binômio de Newton - Demonstração

Olá pessoal, preparei essa demonstração do Binômio de Newton e gostaria de compartilhar com vocês, para isso você deverá baixar pelo link abaixo pois o editor do blog não permite que use recursos necessários para essa demonstração.

para baixar a demonstração - Clique Aqui

Desafio de Trigonometria:

Dado um triangulo com ângulos internos de medidas A, B e C. Sabendo  -se que sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0, prove que esse triangulo e retângulo.

prova:

         sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0
==>  sen(4A) + sen (4B) =  - sen (4C)
==>  2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c
como , A + B + C = 180°, então 2A + 2B + 2C = 360º

Assim, 2A + 2B = 360º - 2C,
logo,
        2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c  (dividindo os dois lados da igualdade por 2)
==> sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - sen 2C . cos 2c
==> sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C
temos ainda que sen (360º - 2C) = - sen 2C, logo podemos escrever a igualdade do seguinte modo
       sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C
==> -sen 2C cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C (dividimos os dois lados da igualdade por -sen 2c)
==> cos (2A - 2B) = cos 2C
assim temos dois casos possíveis
(i) 2A - 2B = 2C  nesse caso
    2A = 2B + 2C
    e a única solução possível é A = 90° (pois a soma dos angulos internos de um triangulo é 180°)
e
(ii) 2A - 2B = -2C , nesse caso
     2B = 2A + 2C 
     também a única solução possível é B = 90°
Portanto está provado que nos dois casos temos um angulo de 90°, assim o triangulo é retângulo.

Até a próxima!

Prova doTeorema de Pitágoras

Prova do enem 2010 - completa

Aqui está a prova de matemática do enem completa para que você possa baixar
A prova foi comentada pelos professores de uma das melhores escolas particulares do ceará.


Para baixar a prova do ENEM 2010 - Clique Aqui

Feliz 2011

É o que nós do Matemática sem dúvida desejamos a todos vocês!

Nosso blog passou por problemas técnicos, más está de volta com todo vapor!

Aguarde!

Prova Comentada do ENEM 2010 - Parte 2