AULA PARA ENSINO FUNDAMENTAL

OBRIGADO

DESAFIO: OLIMPÍADA

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O revezamento em uma corrida

Numa competição de revezamento, cada equipe tem dois atletas que tem que correr 21 km cada um. O segundo atleta só inicia a corrida quando o primeiro atleta termina a sua parte e lhe passa o bastão. O recorde dessa competição é de 2 horas e 48 minutos. Na equipe de João e Carlos, João inicia a corrida e corre a sua parte com uma velocidade de 12 km/h. Para bater o recorde, qual deve ser a velocidade de Carlos?

Solução:

Como  tempo = Distância / velocidade, então o tempo gasto  por João foi de:

t = 21/12 = (1 + 9/12)h = h + (9/12)x60 min = 1h 45m

Logo , Carlos tem que completar a prova em um tempo inferior a 2h48m - 1h45m = 1h3m = 63 minutos

Para isso sua velocidade v, em km/min deve satisfazer

(21/v) <63 ou seja

v > 21/63

v> 1/3 km/ min = 60 / 3 km/h = 20 km/h

Soma de cubos

1. se x + y = 1e x² + y² = 2, calcule o valor de x³ +y³.

Solução:

Sabemos que (x +y)² = x² +2xy + y², logo:

(x +y)² - 2xy = x² + y²

 1²  -2xy = 2

-2xy = 2 - 1

2xy = -1

xy = -1/2

Por outro lado, 

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x+y)

(x + y)³ - 3xy(x+y)= x³ + y³ 

1³ - 3 (-1/2) . 1 =  x³ + y³ 

x³ + y³ = 5/2

EQUAÇÃO DO 2º GRAU - SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

(PUC MG) Os números "m" e "n" são as raízes da equação x² - 2rx + r² - 1 = 0. Qual é o valor de m² + n² ?`

SOLUÇÃO:

os coeficientes da equação dada são

a = 1

b = -2r

c = r² -1

a soma das raízes é : m + n = - b /a e o produto é m.n = c / a

portanto, substituindo temos

m + n = 2r

e

m.n = r² - 1

Sabemos que,

(m + n )² = m² + 2 m n + n²

substituindo pelos valores da soma e do produto, temos

(m + n )² = m² + 2 m n + n²

( 2r )² = m² + 2 . (r² - 1) + n²

4r² = m² + 2r² - 2 + n²

4r² -2r² + 2 = m² + n²

2r² +2 = m² +n²

2 (r² + 1) = m² + n²

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Dada a equação  x² + x  +1 = 0 de raízes ''u" e "v", calcule a o valor da soma u³ + v³.

Solução:

Primeiro você deve observar que não é conveniente tentar achar as raízes e calcular o valor da expressão, pois quando você tentar calcular o valor de delta irá encontrar um número negativo, assim a equação só tem raízes complexas, o que irá dificultar a solução com os valores das raízes. Então, basta lembrar que dada uma equação de 2º grau :

ax² + bx + c = 0, de raízes "u" e "v" podemos calcluar a soma u + v e o produto u.v

Assim,

u + v = - b / a

e

u . v = c / a

 Agora, munidos dessas fórmulas, podemos resolver o problema,

Temos que:

( u + v ) ³ = u³ + 3 u² v +3 u .v² + v³

( u + v )³ = u³ + 3 uv (u + v) + v³

como u + v = - b/a

e

u .v = c /a

lembrando que : a = b = c =1

então u +v = -1 e u . v = 1

portanto,

( u + v )³ = u³ + 3 uv (u + v) + v³

(-1)³ = u ³ + 3 . 1 .(-1) + v³

-1 = u³ -3 + v³

-1 + 3 = u³ + v³

logo, u³ +v³ = 2

 

questões OBMEP 2010 - NIVEL 03

1. Cada asterisco * na figura de ser preenchido com um sinal de adição (+) ou de multiplicação (x). Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadrinhos?

 2*3*0*8*9*1

 a) 77

b) 78

c) 79

 d) 80

 e) 81

                                                       fonte: OBMEP 2010

Solução: note que para obter o maior valor possível, você não pode nem pensar em colocar o sinal de multiplicação próximo do zero, assim as casas próximas de zero serão preenchidas com (+).

2*3+0+8*9*1

Observe ainda que se você multiplicar um número por 1 você vai obter o mesmo valor. Então vamos usar a adição próximo do 1

2*3+0+8*9+1

Finalmente basta observar que 2+3< 2x3 e 8+9 < 8x9

então a nossa expressão vai ficar assim:

2x3+0+8x9+1 = 6 + 0 +72 +1 = 79

opção C

3. Carmem tem duas caixas A e B, cada uma com 4 bolas brancas e 10 bolas pretas. Se ela retirar 6 bolas da caixa A e as colocar na caixa B, qual será o menor percentual possível de bolas pretas na caixa B?

a) 50%

b) 55%

c) 60%

d) 65%

e) 70%

                                                       fonte: OBMEP 2010

SOLUÇÃO:

Como queremos o menor percentual de bolas pretas na caixa B, então devemos colocar o maior número possível de bolas brancas. Como temos apenas 4 bolas brancas na caixa A, retiramos todas e as colocamos na caixa B. Más ainda estão faltando 2 bolas a serem retiradas da caixa A, então vamos ter que retirar 2 bolas pretas para completar as 6 bolas.

Assim, a caixa B ficou com 8 bolas brancas e 12 bolas pretas.

Portanto, o percentual de bolas pretas na caixa B é 12/20 = 0,60

Ou seja, 60%

Opção C

11. Adriano, Bruno, Carlos e Daniel participam de uma brincadeira na qual cada um é um tamanduá ou uma preguiça. Tamanduás sempre dizem a verdade e preguiças sempre mentem.

• Adriano diz: Bruno é uma preguiça.
• Bruno diz: Carlos é um tamanduá.
• Carlos diz: Daniel e Adriano são diferentes tipos de animais.
• Daniel diz: Adriano é uma preguiça 

                                                   quantos dos amigos são tamanduás?

                                                   a) 0

                                                   b) 1

                                                   c) 2

                                                   d) 3

                                                    e) 4

                                                   fonte : OBMEP 2010

Solução:

Temos que analisar os casos em que Adriano é um tamanduá ou uma preguiça.

1º caso: Adriano é um tamanduá (logo diz a verdade)

Como adriano diz a verdade, então Bruno é uma preguiça. ( logo Bruno mente)

Como bruno mente então carlos é uma preguiça ( logo carlos mente).

Como carlos mente então Daniel e Adriano são animais do mesmo tipo, assim Daniel é um tamanduá. ( logo daniel diz a verdade)

Como Daniel diz a Verdade, então Adriano é uma preguiça ( o que contradiz nossa hipótese de que Adriano é um tamanduá)

2º caso : Adriano é uma preguiça (logo mente)

Como adriano mente, então Bruno é um tamanduá. ( logo Bruno diz a  verdade)

Como bruno diz a verdade então carlos é um tamanduá ( logo carlos diz a verdade).

Como carlos diz a verdade então Daniel e Adriano são animais de tipos diferentes, assim Daniel é um tamanduá. ( logo daniel diz a verdade)

Como Daniel diz a Verdade, então Adriano é uma preguiça ( o que condiz com a  nossa hipótese de que Adriano é uma preguiça)

Portanto 3 dos amigos são tamanduás (Bruno, Carlos e Daniel)

Opção D

DESIGUALDADE TRIANGULAR.

Quais e quantos os triangulos cujas medidas dos lados são números inteiros com perímetro igual a 15 cm?

solução:
sejam x, y e z os lados desse triangulo, tais que x é menor ou igual a y e este é menor ou igual a z.
Para que formem um triangulo, a soma de dois lados é sempre maior que o terceiro lado, logo:
         z < x + y
==> 2z < x + y + z < 3z
==> 2z < 15 < 3z
com z é um número inteiro, então z = 5 , 6 ou 7

• Se z = 7, então x + y = 8 e teremos 4 soluções

           (x,y,z) = (1,7,7) ; (2,6,7); (3,5,7) e (4,4,7)

• Se z = 6 então x + y = 9 e assim teremos 2 soluções

         (x,y,z) = (3,6,6) e (4,5,6)

• Se z = 5, então x + y = 10, assim teremos uma solução

         (x,y,z) = (5,5,5)

Portanto teremos 7 triangulos possíveis.

Até a próxima!


 

INVERTENDO OS ALGARISMOS

Quantos números entre 10 e 99 existem tais que invertendo a ordem dos seus algarismos, obtemos um número maior do que o número original?

solução:
Um número de 2 algarismos é da forma "ab". temos que contar os números que tem o algarismo da unidade maior que o algarismo da dezena, ou seja b>a.
Note que "a" não pode ser 9.

ficamos, assim com os seguintes casos:

• 1b : o algarismo das unidades pode ser 2,3,4,5,6,7,8 ou 9

           temos 8 possibilidades

• 2b :  o algarismo das unidades pode ser 3,4,5,6,7,8 ou 9

           temos então 7 possibilidades

• 3b: o algarismo das unidades pode ser 4,5,6,7,8 ou 9

          temos 6 possibilidades
          .
          .
          .

• 8b : o algarismo das unidades só pode ser 9

 Portanto o total de possibilidades deste problema é igual a :

8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 números.