EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Dada a equação  x² + x  +1 = 0 de raízes ''u" e "v", calcule a o valor da soma u³ + v³.

Solução:

Primeiro você deve observar que não é conveniente tentar achar as raízes e calcular o valor da expressão, pois quando você tentar calcular o valor de delta irá encontrar um número negativo, assim a equação só tem raízes complexas, o que irá dificultar a solução com os valores das raízes. Então, basta lembrar que dada uma equação de 2º grau :

ax² + bx + c = 0, de raízes "u" e "v" podemos calcluar a soma u + v e o produto u.v

Assim,

u + v = - b / a

e

u . v = c / a

 Agora, munidos dessas fórmulas, podemos resolver o problema,

Temos que:

( u + v ) ³ = u³ + 3 u² v +3 u .v² + v³

( u + v )³ = u³ + 3 uv (u + v) + v³

como u + v = - b/a

e

u .v = c /a

lembrando que : a = b = c =1

então u +v = -1 e u . v = 1

portanto,

( u + v )³ = u³ + 3 uv (u + v) + v³

(-1)³ = u ³ + 3 . 1 .(-1) + v³

-1 = u³ -3 + v³

-1 + 3 = u³ + v³

logo, u³ +v³ = 2