sábado, 26 de junho de 2010

EQUAÇÃO DO 2º GRAU - SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES

(PUC MG) Os números "m" e "n" são as raízes da equação x² - 2rx + r² - 1 = 0. Qual é o valor de m² + n² ?`

SOLUÇÃO:
os coeficientes da equação dada são
a = 1
b = -2r
c = r² -1
a soma das raízes é : m + n = - b /a e o produto é m.n = c / a

portanto, substituindo temos

m + n = 2r
e
m.n = r² - 1

Sabemos que,

(m + n )² = m² + 2 m n + n²
substituindo pelos valores da soma e do produto, temos
(m + n )² = m² + 2 m n + n²
( 2r )² = m² + 2 . (r² - 1) + n²
4r² = m² + 2r² - 2 + n²
4r² -2r² + 2 = m² + n²
2r² +2 = m² +n²
2 (r² + 1) = m² + n²

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Dada a equação  x² + x  +1 = 0 de raízes ''u" e "v", calcule a o valor da soma u³ + v³.
Solução:
Primeiro você deve observar que não é conveniente tentar achar as raízes e calcular o valor da expressão, pois quando você tentar calcular o valor de delta irá encontrar um número negativo, assim a equação só tem raízes complexas, o que irá dificultar a solução com os valores das raízes. Então, basta lembrar que dada uma equação de 2º grau :
ax² + bx + c = 0, de raízes "u" e "v" podemos calcluar a soma u + v e o produto u.v
Assim,
u + v = - b / a
e
u . v = c / a
 Agora, munidos dessas fórmulas, podemos resolver o problema,
Temos que:
( u + v ) ³ = u³ + 3 u² v +3 u .v² + v³
( u + v )³ = u³ + 3 uv (u + v) + v³
como u + v = - b/a
e
u .v = c /a
lembrando que : a = b = c =1
então u +v = -1 e u . v = 1
portanto,
( u + v )³ = u³ + 3 uv (u + v) + v³
(-1)³ = u ³ + 3 . 1 .(-1) + v³
-1 = u³ -3 + v³
-1 + 3 = u³ + v³
logo, u³ +v³ = 2
 

segunda-feira, 14 de junho de 2010

questões OBMEP 2010 - NIVEL 03

1. Cada asterisco * na figura de ser preenchido com um sinal de adição (+) ou de multiplicação (x). Qual é o maior valor possível da expressão obtida depois de preenchidos todos os quadrinhos?
 2*3*0*8*9*1
 a) 77
b) 78
c) 79
 d) 80
 e) 81
                                                       fonte: OBMEP 2010
Solução: note que para obter o maior valor possível, você não pode nem pensar em colocar o sinal de multiplicação próximo do zero, assim as casas próximas de zero serão preenchidas com (+).
2*3+0+8*9*1
Observe ainda que se você multiplicar um número por 1 você vai obter o mesmo valor. Então vamos usar a adição próximo do 1
2*3+0+8*9+1
Finalmente basta observar que 2+3< 2x3 e 8+9 < 8x9
então a nossa expressão vai ficar assim:
2x3+0+8x9+1 = 6 + 0 +72 +1 = 79
opção C



3. Carmem tem duas caixas A e B, cada uma com 4 bolas brancas e 10 bolas pretas. Se ela retirar 6 bolas da caixa A e as colocar na caixa B, qual será o menor percentual possível de bolas pretas na caixa B?
a) 50%
b) 55%
c) 60%
d) 65%
e) 70%
                                                       fonte: OBMEP 2010
SOLUÇÃO:
Como queremos o menor percentual de bolas pretas na caixa B, então devemos colocar o maior número possível de bolas brancas. Como temos apenas 4 bolas brancas na caixa A, retiramos todas e as colocamos na caixa B. Más ainda estão faltando 2 bolas a serem retiradas da caixa A, então vamos ter que retirar 2 bolas pretas para completar as 6 bolas.
Assim, a caixa B ficou com 8 bolas brancas e 12 bolas pretas.
Portanto, o percentual de bolas pretas na caixa B é 12/20 = 0,60
Ou seja, 60%
Opção C


11. Adriano, Bruno, Carlos e Daniel participam de uma brincadeira na qual cada um é um tamanduá ou uma preguiça. Tamanduás sempre dizem a verdade e preguiças sempre mentem.
  • Adriano diz: Bruno é uma preguiça.
  • Bruno diz: Carlos é um tamanduá.
  • Carlos diz: Daniel e Adriano são diferentes tipos de animais.
  • Daniel diz: Adriano é uma preguiça 
                                                   quantos dos amigos são tamanduás?
                                                   a) 0
                                                   b) 1
                                                   c) 2
                                                   d) 3
                                                    e) 4
                                                   fonte : OBMEP 2010

Solução:
Temos que analisar os casos em que Adriano é um tamanduá ou uma preguiça.
1º caso: Adriano é um tamanduá (logo diz a verdade)
Como adriano diz a verdade, então Bruno é uma preguiça. ( logo Bruno mente)
Como bruno mente então carlos é uma preguiça ( logo carlos mente).
Como carlos mente então Daniel e Adriano são animais do mesmo tipo, assim Daniel é um tamanduá. ( logo daniel diz a verdade)
Como Daniel diz a Verdade, então Adriano é uma preguiça ( o que contradiz nossa hipótese de que Adriano é um tamanduá)
2º caso : Adriano é uma preguiça (logo mente)
Como adriano mente, então Bruno é um tamanduá. ( logo Bruno diz a  verdade)
Como bruno diz a verdade então carlos é um tamanduá ( logo carlos diz a verdade).
Como carlos diz a verdade então Daniel e Adriano são animais de tipos diferentes, assim Daniel é um tamanduá. ( logo daniel diz a verdade)
Como Daniel diz a Verdade, então Adriano é uma preguiça ( o que condiz com a  nossa hipótese de que Adriano é uma preguiça)
Portanto 3 dos amigos são tamanduás (Bruno, Carlos e Daniel)
Opção D