Dado um triangulo com ângulos internos de medidas A, B e C. Sabendo -se que sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0, prove que esse triangulo e retângulo.
prova:
sen(4A) + sen (4B) + sen (4C) = 0
==> sen(4A) + sen (4B) = - sen (4C)
==> 2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c
como , A + B + C = 180°, então 2A + 2B + 2C = 360º
Assim, 2A + 2B = 360º - 2C,
logo,
2sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - 2 sen 2C . cos 2c (dividindo os dois lados da igualdade por 2)
==> sen (2A+2B) cos(2A-2B) = - sen 2C . cos 2c
==> sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C
temos ainda que sen (360º - 2C) = - sen 2C, logo podemos escrever a igualdade do seguinte modo
sen (360° - 2C) cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C
==> -sen 2C cos (2A - 2B) = - sen 2C cos 2C (dividimos os dois lados da igualdade por -sen 2c)
==> cos (2A - 2B) = cos 2C
assim temos dois casos possíveis
(i) 2A - 2B = 2C nesse caso
2A = 2B + 2C
e a única solução possível é A = 90° (pois a soma dos angulos internos de um triangulo é 180°)
e
(ii) 2A - 2B = -2C , nesse caso
2B = 2A + 2C
também a única solução possível é B = 90°
Portanto está provado que nos dois casos temos um angulo de 90°, assim o triangulo é retângulo.
Até a próxima!
