PARA OS ALUNOS DA ESCOLA CARNEIRO DE MENDONÇA

PROVAS DO 1º BIMESTRE DE 2010 PARA BAIXAR

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Problema de PA e PG

1. A soma de tres números que formam uma PG crescente é 19. Calcular esses tres números sabendo que se subtraírmos 1 do primeiro sem alterar os outros dois eles passam a constituir uma PA.

Solução : 

PG (a, b,c) e PA (a-1,b,c)

Pelo problema , a+b+c = 19  (I)

Se formam uma PG então b/a = c/b

==> b² = ac (II)

Se formam uma PA então b - (a-1) = c - b

==> b-a + 1 = c -b

==> 2b + 1 = a +c (III)

Resolvendo o sistema formado pelas equações (I), (II)  e (III) encontramos 

b = 6

a = 9 ==> c = 4

ou

a = 4 ==> c = 9

assim teremos duas soluções (a,b,c) = (4,6,9) e (9,6,4), como a PG é crescente então a solução procurada é a = 4, b = 6 e c = 9.

Análise Combinatória

1. De quantas maneiras 3 casais podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila de modo que as duas cadeiras das extremidades sejam ocupadas por homens?
a) 144
b) 154
c) 164

d) 174

solução: Temos 3 homens e 3 mulheres. Como as estremidades devem ser ocupadas por homens temos que colocá-los nessas cadeiras, isso pode ser calculado pela combinação de C 3,2 = 3 modos (I)

Escolhidos estes podemos distribuí-los nas cadeiras de 2 modos (II)

Depois basta distribuir os restantes nos 4 lugares isso é calculado pela permutação P4 = 4! = 24 (II)

O resultado final final é obtido pelo princípio multiplicativo, logo a resposta é :

3x2x24 = 144 modos

Problema de Porcentagem

Numa sala há 25 alunos, sendo que 7 desses alunos estão na faixa etária adequada para a classe. O diretor da escola quer matricular mais alunos na classe de modo que pelo menos 48% dos alunos estejam na faixa etária adequada para a classe. Quantos alunos deverão ser matriculados nessa turma para que a turma atinja a meta?

solução: 

Como queremos que 48% da turma esteja na faixa etária, então vamos chamar de X a quantidade de alunos que serão matriculados nessa sala ( todos na faixa etária adequada).

Temos então que:

(x + 7) alunos estão na faixa etária adequada

(X + 25) alunos = total de alunos da turma após  a inclusão dos novatos.

Então devemos resolver a equação (x+7) / (x + 25) = 0,48

==> x + 7 = (x +25). 0,48

==> x + 7 = 0,48x + 0,48 .25

==> x - 0,48x = 12-7

==> 0,52 x = 5

==> x = 5 / 0,52

==> x = 9,6

Logo como estamos falando de pessoas, o mínimo necessário é de 10 pessoas.

SISTEMAS LINEARES - PROBLEMA

Um teste é composto por 50 questões, sendo que por cada questão certa você ganha 3 pontos e por cada questão errada você perde 2 pontos. Se ao terminar essa prova você fez 75 pontos, quantas questões certas e erradas você fez?

solução:

Seja X o nº de questões certas e Y o nº de questões erradas, então como a prova possui 50 questões,

X + Y = 50 ( I )

como cada questão correta vale 3 pontos e cada questão errada vale - 2 pontos, então temos a segunda equação, 3X - 2Y = 75 ( II )

Se X + Y = 50 , então Y = 50 - X, substituindo na equação ( II ),

3X - 2.(50 - x) = 75

3X - 100 + 2X = 75

5X = 75 + 100

5X = 175

X = 175 / 5

X = 35, logo voltando à equação ( I ), encontramos Y = 15.

Portanto você acertou 35 questões e errou 15.