QUESTÕES DA OBMEP 2010 - 2ª FASE

QUESTÃO 01 - NIVEL 03

Uma calculadora diferente tem apenas as teclas de 0 a 9 e duas teclas especiais A e B.Quando a tecla A é apertada, o número que aparece no visor é elevado ao quadrado; quando a tecla B é apertada, soma-se 3 ao numero que aparece no visor.Nessa calculadora é possivel obter o 22 a partir do 1 apertando as teclas BABB.

a) com o número 3 no visor qual número vai aparecer apertando as teclas A e B na ordem BBAB?

Solução:

temos inicialmente o número 3.

Apertando a tecla B soma-se 3 e ficamos com 6

Apertando B novamente, soma-se 3 de novo e ficamos com 9

Apertando a tecla A, elevamos o número anterior ao quadrado, ficando assim com 81

Pressionando a tecla B, somamos 3 e ficamos com o número 84.

b) Mostre como obter 55 a partir do 1 usando as teclas A e B.

solução:Podemos apertar as teclas BBABB, nessa ordem ou ainda podemos apertar a tecla B dezoito vezes seguidas. (Basta verificar)

c) Explique porque não é possivel obter 54 a partir do 2 usando as tecla A e B:

Note que se um numero x não é multiplo de 3 então x+3 também não é multiplo de 3. Assim como x² também  não será multiplo de 3. Logo como 2 não é multiplo de 3, então apertando as teclas A e B sucessivas vezes, nunca encontraremos um multiplo de 3. 

Note também queo número 54 é multiplo de 3 pois 5+ 4 = 9. 

assim, partindo do 2 e apertando as teclas Ae B, nunca chegaremos ao numero 54.