trigonometria: problema

Desafio:

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POTENCIAÇÃO

EFETUE AS OPERAÇÕES E CALCULE A EXPRESSÃO:

 

OBS: QUESTÃO DA XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - NÍVEL 1

Teorema de pitágoras

Mostre que existe um triângulo retângulo em que os lados são números naturais consecutivos.

Demonstração:

Chamemos os lados desse triângulo de ( x - 1, x , x+1). Então os catetos medem x-1 e x e a hipotenusa mede x+1. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:

        (x + 1)² = x² + (x - 1)²

=>   x² + 2x + 1 = x² + x² - 2x + 1

=>   x² -4x = 0

=> x (x - 4) = 0

=> x = 0 (não convém) ou x = 4

logo os lados do triângulo são 3,4 e 5.

PROBLEMA - NÚMEROS INTEIROS

Quatro números inteiros positivos distintos m, n, p e q são tais que satisfazem a equação:

(7-m).(7-n).(7-p).(7-q) = 4, então a soma m + n + p + q é igual a:

a) 10

b) 21

c) 24

d) 26

e) 28

solução:

Se m, n p e q são inteiros então, 7-m, 7-n, 7-p, 7-q também são inteiros. Agora,

4 = (-1).(-2) .1 . 2 é a única decomposição de 4 em um produto de números inteiros distintos. Segue que

(7-m)+(7-n)+(7-p)+(7-q) = (-1)+(-2) +1 + 2

-m -n -p -q =  -1 -2 + 1 + 2 -7 -7 -7 -7 

m + n +p +q  = 28

opção e

Saudações!

Que Deus abençoe o meu segundo filho que nasceu hoje 04 de março de 2010 em Maracanaú.

 

Davi, Seja bem vindo!

QUESTÕES - OBMEP 2009

NÍVEL 03

Para achar o número de seu sapato, Maurício mediu

o comprimento de seu pé em centímetros, multiplicou a

medida por 5, somou 28, dividiu tudo por 4 e arredondou

o resultado para cima, obtendo o número 40. Qual das

alternativas mostra um possível comprimento do pé do

Maurício?

A) 24 cm
B) 25 cm
C) 26 cm
D) 27 cm
E) 28 cm

SOLUÇÃO:

Seja x o comprimento do pé do Maurício. Então
39< (5X+28)/4 < 40 e segue que 156 < 5x + 28 ≤ 160 . Logo
128 < 5x ≤ 132 , ou seja, 25,6 < x ≤ 26,4 . A única alternativa que satisfaz estas desigualdades é a alternativa C.

FONTE:  site da  OBMEP

QUESTÕES - OBMEP 2009

 NÍVEL 03

1. Qual é o valor de 5353² - 2828² ?

A) 25252

B) 35352

C) 45452

D) 45652

E) 53352

SOLUÇÃO:

ALTERNATIVA C

Notamos que 5353² = 53 ×101 e 2828² = 28 ×101.

Podemos então fazer a conta rapidamente, usando a

identidade a² − b² = (a + b)(a − b)

5353² - 2828² = 53²101² - 28²101²

5353² - 2828² = (53 + 28).(53 - 28).101² = 5².9².101² = 45².101² = (45.101)² = 4545²

FONTE : site da OBMEP